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Verifica se è intero (5nsinnalpha)

 
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Autore Messaggio
Enialis
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Età: 28
Registrato: 09/02/07 23:14
Messaggi: 7
Località: Torino

MessaggioInviato: Gio Feb 12, 2009 7:32 pm    Oggetto: Verifica se è intero (5nsinnalpha) Rispondi citando

Dimostrare che il numero:

dove sin(alfa)=4/5 e cos(alfa)=3/5, è intero per ogni n intero.

Nota: Non usare i polinomi di Čebyšëv.

_________________
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"Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in difectum, nisi quatenus a viribus inpressis cogitur statum illum mutare"
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MessaggioInviato: Gio Feb 12, 2009 7:32 pm    Oggetto: Adv





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Gaia




Registrato: 02/12/08 01:35
Messaggi: 6

MessaggioInviato: Ven Set 25, 2009 12:06 pm    Oggetto: Rispondi citando

Io farei una dimostrazione per induzione. Tanto per alleggerire il linguaggio definisco le proposizioni p(n) e q(n):

p(n) = 5^n sin(n*alfa) è intero
q(n) = 5^n cos(n*alfa) è intero

1) Verifico che valgono p(1), p(2), q(1):
p(1) = 5 sin(alfa) = 4, intero
q(1) = 5 cos(alfa) = 3, intero
p(2) = 5^2 sin(2*alfa) = 5^2 2sin(alfa)cos(alfa) = intero

2) Dimostro due cose:
a) p(n-1), p(n), q(n-1) implicano p(n+1)
b) p(n-1), q(n-1) implicano q(n)
Praticamente è una doppia induzione

Dimostrazione di a):

p(n+1) = 5^(n+1) sin (n*alfa+alfa) =

= 5^(n+1) [sin(n*alfa)cos(alfa) + cos(n*alfa)sin(alfa)] =

= 5*5^n sin(n*alfa)cos(alfa) + 5^2*5^(n-1) cos(n*alfa)sin(alfa) =

= 5*5^n sin(n*alfa)cos(alfa) + 5^2*5^(n-1) cos((n-1)*alfa+alfa)sin(alfa) =

= 5*5^n sin(n*alfa)cos(alfa) + 5^2*[5^(n-1)cos((n-1)*alfa)cos(alfa) +
- 5^(n-1)sin((n-1)*alfa)sin(alfa)] sin(alfa)

Se valgono p(n-1), p(n), q(n-1) allora l'espressione scritta sopra diventa:

p(n+1) = 5*intero*3/5 + (5^2)*[intero*3/5 - intero*4/5]*(4/5) =
= intero + intero = intero!

Dimostrazione di b):

q(n) = 5^n cos(n*alfa) =

= 5^n cos((n-1)*alfa + alfa) =

= 5*5^(n-1) cos((n-1)*alfa)cos(alfa) - 5*5^(n-1) sin((n-1)*alfa)sin(alfa)

Se valgono p(n-1), q(n-1) allora, sfruttando l'espressione che ho appena scritto, si ottiene:

q(n) = 5*intero*3/5 - 5*intero*4/5 = intero!

Ciao Laughing
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